$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2}\,\left( {\frac{{^{15}{C_r}}}{{^{15}{C_{r - 1}}}}} \right)} $ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$3$ તાલીમાર્થીઓ,$4$ પ્રોફેસરો અને $6$ સંશોધન સહાયકોમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં $2$ તાલીમાર્થીઓ અને $3$ સંશોધન સહાયકો હોવા જોઈએ,તો આ કેટલા અલગ અલગ રીતે કરી શકાય?

$X, Y, Z$ એ અનુક્રમે $10^{60}, 20^{50}$ અને $30^{40}$ ના તમામ ધન ભાજકોના ગણ છે. $n(X \cup Y \cup Z)$ શોધો.

સમતલમાં $12$ બિંદુઓ (જેમાંથી $4$ બિંદુઓ સમરેખ છે) દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા શોધો.

માત્ર ત્રણ અંકો $2, 5$ અને $7$ નો ઉપયોગ કરીને $n$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે. $n$ ની એવી નાનામાં નાની કિંમત શોધો જેના માટે $900$ આવી ભિન્ન સંખ્યાઓ બનાવી શકાય.

એક વિદ્યાર્થીને $(2n + 1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો તે ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $63$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.